Los fractales y las técnicas numéricas

Estudiando para una examen de Técnicas Numéricas, encontré en los apuntes un artículo sobre estas técnicas y los fractales; el problema es que estaba en inglés. Como quería saber lo que decíay no iba recurrir al traductor de Google, lo mandé traducir. Me ha parecido muy interesante y he decidido publicarlo:

La guerra de las raíces

Hace unos 4000 años, los matemáticos sumerios tenían un método por el cual podían calcular la raíz cuadrada de un número. Y lo hacían con un proceso iterativo de retroalimentación con un paso. Dado un número a, su raíz cuadrada podía calcularse con el siguiente proceso iterativo:

xn+1 =

1


2

(xn +

a


xn

).

Para una estimación inicial dada, x0, iterar la ecuación y la secuencia de iteraciones converge en seguida con la raíz cuadrada de a. El método anterior de hallar la raíz cuadrada de un número es un caso especial de otro método más general de hallar las raíces de una ecuación no lineal, descubierto 4000 años después, denominado método de Newton para hallar raíces.

El método de Newton

El método de Newton es un procedimiento iterativo para hallar la solución de la ecuación F(x) = 0 mediante aproximaciones sucesivas, dada una estimación inicial. A partir de esta estimación inicial, por ejemplo, x0, se halla una mejor aproximación a la solución iterando la siguiente ecuación:

xn+1 = xn

F(xn)


F¢(xn)

,

donde F’ (xn) es la derivada de la función F(x) cuyas raíces hay que hallar. Suponiendo que la primera derivada existe, las iteraciones del proceso de retroalimentación se aproxima progresivamente a la solución.

En 1879, sir Arthur Cayley estudió el método de Newton y formuló la siguiente pregunta: ¿Qué cero de la ecuación z3 – 1 = 0 en el plano complejo convergería el método si uno comienza con una estimación inicial arbitraria? Los escritos de Cayley motivaron gran parte del trabajo de Julia. Sesenta años más tarde, Mandelbrot estableció la fundación de Geometría Fractal, consciente del trabajo realizado por Pierre Fatou y Gastón Julia sobre procesos iterativos en plano complejo.

¡No está mal para 4000 años de historia! Entonces, la cuestión está en determinar a qué raíz convergería el método de Newton si una comenzara con una estimación inicial arbitraria. Efectivamente, el método de Newton funciona, y muy ‘seguramente’ el proceso conduce a una de las tres soluciones (casualmente las raíces de la ecuación z3 – 1 = 0 son 1, exp2π/3 y exp4π/3). Así que la pregunta es: si una comenzase con un gran número de puntos en el plano complejo como estimación inicial al método de Newton, ¿cómo se distribuyen estas estimaciones iniciales en el plano complejo? Mostramos una distribución, con código de colores, de las estimaciones iniciales que conducen a una de las tres soluciones. Procede de un experimento por ordenador de la cuadrícula de 500×500 en el plano complejo, entre -2 y 2, ambos a lo largo de los ejes real (X-) e imaginario (Y-). Las estimaciones iniciales aparecen de color rojo, amarillo o azul dependiendo de si el punto inicial se aproxima a la solución 1, exp2π/3 y exp4π/3, respectivamente. Las coordenadas de las tres raíces están señaladas con un signo +.

1. Proyección de las cuencas de atracción, con código de colores, de raíces cúbicas de la unidad. Los límites de X e Y son X[-2, 2] e Y[-2, 2].

2. Zoom de la región X [-0’05, 0’5] e Y [-0’7, -0’1] a partir de la proyección anterior. Efectivamente, el límite de la cuenca está completo.

En el lenguaje de la teoría de sistemas dinámicos, las raíces pueden considerarse como atractores de punto y las regiones del plano complejo con un comportamiento asíntoto respecto a una raíz determinada son las cuencas de atracción de dicha raíz. A partir de la proyección anterior queda claro que hay un límite muy complejo que separa las cuencas de atracción de las tres raíces. Esta complejidad continúa existiendo incluso si nos fijamos en las minúsculas diferencias que hay entre los valores iniciales de la estimación; este límite nunca se suaviza, ni siquiera en estas pequeñas diferencias. Así, si nos acercásemos con un primer plano, veríamos que los límites tienen una estructura muy compleja, similar a un conjunto de Cantor. En otras palabras, siempre que dos cuencas parecen encontrarse, descubrimos tras examinarlas más a fondo que la tercera cuenca de atracción está ahí entre ellas, y así sucesivamente hasta el infinito. Este complejo límite es un límite fractal. La competición de las raíces para conseguir todos los puntos del plano dista mucho de ser sencilla.

Traducido por JCN

 

Fuente:

http://chaos4.phy.ohiou.edu/~thomas/fractal/newton.html

Un comentario en “Los fractales y las técnicas numéricas

  1. Lo curioso de esto es que cualquier punto del plano tienen un color bien definido y por lo tanto el método converge siempre.
    ¿Pero sabemos que no es así? ¿Qué es lo que sucede entonces?
    Pues como no podemos almacenar una coordenada con infinita precisión, llega un momento en que saltamos inevitablemente de una región a otra de diferentes colores por lo que no llegamos nunca a la raiz.

    Muy buen post te hace que pensar.
    ¡Felicidades!

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